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Mercator ? Merc-à-raison ?

Voici une carte du monde selon la projection dite de Mercator :

Source: Wikipedia

Une Amérique du nord hypertrophiée, une Europe nourrie aux hormones et une Afrique écrabouillée en comparaison, sans même parler de la taille aberrante de l'Antarctique : un bref coup d'œil à un bon vieux globe suffit pour s'en rendre compte, cette carte a amplement mérité sa mauvaise réputation. Pour constater l'étendue du désastre, je vous invite à essayer le puzzle Mercator : observez comme la taille de chaque pays change selon sa position sur la carte, et essayez de replacer chaque pays au bon endroit. Mais alors, à quoi pensait donc le Flamand Gerardus Mercator lorsqu'il publia, en 1569, les 18 feuilles de sa « Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodata » (Représentation nouvelle et enrichie du globe terrestre correctement ajustée pour la navigation) ? La réponse est, en partie, dans la question : la carte de Mercator est en fait une carte maritime, faite pour la navigation, et non pour donner une représentation fidèle de la surface du globe. Mais en quoi est-elle si adaptée à la navigation ? Et dans ces conditions, pourquoi les développeurs de chez Google ont-ils retenu cette projection-là pour Google Maps ?

Planisphère de Mercator (1569). Source: Wikipedia

Dessiner une carte du monde implique de représenter toute la surface de la Terre, ou du moins une grande partie, sur une surface plane, feuille de papier ou autre. Il faut trouver une méthode pour associer à chaque point de la surface un point du plan : une telle opération s'appelle une projection. Chaque projection donne une carte du monde différente : voici quelques exemples de projections, et les cartes qu'elles donnent.

Projection de Mollweide. Source
Projection de Goode. Source
Projection de Robinson. Source
Projection stéréographique. Source
Projection conique conforme de Lambert. Source
Projection orthographique. Source

Remarquons que, sur toutes ces cartes, la surface de la Terre apparaît déformée. Sur une surface assez petite, par exemple à l'échelle d'une ville, on peut dessiner une carte sans se soucier de la courbure de la Terre : à cette échelle, la surface du globe paraît "plate", du moins si l'on ignore le relief. Mais à l'échelle de la planète entière, une déformation est inévitable. En effet, par exemple, on peut tracer sur la surface de la Terre un triangle dont la somme des angles dépasse 180°. Sur une surface plane, c'est impossible. L'image d'un tel triangle par la projection est donc forcément déformée : ses côtés sont courbés (l'image n'est donc plus un triangle), ou ses angles sont réduits (pour que leur somme fasse 180°).

Un triangle dont la somme des angles fait 230°. À grande échelle, on retrouve la géométrie du plan. Source

Une carte du monde donne donc forcément une image déformée de la surface du globe. Cela dit, en choisissant bien la projection, on peut limiter certains aspects de cette déformation. Le choix de la projection est donc dicté par l'utilisation que l'on souhaite en faire.

Par exemple on peut souhaiter que deux surfaces de même aire sur le globe aient aussi la même surface sur la carte. C'est le cas de la projection de Mollweide et de celle de Goode : l'Arabie Saoudite y apparaît bien avec la même taille que le Groenland, ce qui correspond à la réalité, alors que ce dernier apparaît bien plus gros sur la projection de Mercator.

Considérez un planisphère, obtenu par une projection quelconque, et imaginez que l’on zoome sur une ville ou un quartier : que voit-on ? Si la projection est « lisse », comme c’est le cas de toutes les projections utilisées en pratique, on devrait obtenir une carte du quartier, reconnaissable, mais éventuellement déformée. Par exemple, on pourrait obtenir une carte de Manhattan où les rues se croisent non pas à angles droits, mais à 30°, 45° ou n’importe quel angle.

Dans le cas où ce genre de déformations ne se produit nulle part sur la carte, on dit que la projection est conforme. C'est le cas, par exemple, de la projection stéréographique, de la projection conforme de Lambert et de la projection de Mercator. Une projection conforme est donc une projection qui, à grande échelle, montre une image non déformée de la surface du globe.

Considérons de nouveau un planisphère obtenu par une projection quelconque, zoomons sur un quartier particulier. On obtient une carte locale sur laquelle le nord n’est pas forcément en haut : la direction du nord dépend à la fois de la projection choisie et de l’endroit du monde considéré.

Seules quelques projections particulières font en sorte que le nord apparaisse toujours en haut quel que soit l’endroit. Parmi elles, la projection de Mercator est la seule qui soit conforme.

Grâce à ces deux propriétés, la trajectoire d'un navire gardant une direction fixe par rapport au nord (par exemple à 30° vers l’est) est représentée sur une carte de Mercator par une droite allant dans la même direction. Si l'on veut se rendre d'un point à un autre, il suffit donc de tracer une ligne entre l'origine et la destination souhaitée. Pour savoir dans quelle direction aller, on mesure simplement l'orientation de cette droite sur la carte avec un rapporteur. Ensuite, il n'y a plus qu'à garder un cap constant. Ainsi, si l'on ne connaît l'orientation du navire que par rapport au nord (par exemple, si l'on s'oriente avec une boussole), la carte de Mercator est un outil précieux pour la navigation. En effet, il est plus facile de garder un cap constant que de calculer en permanence quel cap adopter en fonction de sa position actuelle, surtout que cela impliquerait de calculer de nouveau sa position à chaque fois. Toutefois, de nos jours, les navires sont souvent équipés de GPS, ce qui rend obsolète ce type de navigation, et du même coup la carte de Mercator.

Sur de courtes distances, et au prix d'une perte de précision, il est possible d'utiliser de cette manière n'importe quelle projection conforme, et pas seulement la projection de Mercator. En revanche, il est indispensable d'utiliser une projection conforme : l'avantage que procure ce type de projection est d'ailleurs tel que toutes les cartes utilisées par les navigateurs sont conformes, à l'exception des cartes en projection gnomonique, qui ont une utilité très particulière.

Projection gnomonique. Source

Pour la comprendre, il faut d'abord noter la chose suivante. La projection de Mercator permet d'aller d'un point à un autre en gardant un cap constant. Mais la trajectoire ainsi suivie, que l'on appelle une loxodromie, n'est pas la plus courte possible, en particulier sur les longues distances et aux latitudes élevées. La trajectoire la plus courte entre deux points est l'arc de grand cercle (un grand cercle est un cercle dont le centre est le centre de la Terre). Cependant, pour un navire qui s'oriente à l'aide d'une boussole, il est plus facile de garder un cap constant. Pour cette raison, dans la pratique, si un navigateur souhaite parcourir une longue distance, il trace sur sa carte la trajectoire la plus courte jusqu'à sa destination et choisit sur cette trajectoire un certain nombre de points de cheminement (par exemple, un par jour). Entre deux points de cheminements successifs, il garde un cap constant, et il change de cap à chaque fois qu'il atteint un nouveau point.

Trajectoire de cap constant β. Source

Ceci-dit, tracer sur une carte le plus court chemin entre deux points du globe n'a rien d'évident. C'est là qu'intervient la projection gnomonique. En effet, sur ce type de carte, la droite qui relie deux points correspond bien à la trajectoire la plus courte entre eux. Cependant, il ne s'agit pas d'une projection conforme : on ne peut donc pas l'utiliser pour naviguer. En revanche, on peut par exemple d'abord tracer sur la projection gnomonique le chemin le plus court et les points de cheminement, puis ensuite reporter ces points sur la carte de Mercator.

Voilà qui explique l'intérêt de la projection de Mercator comme carte maritime. Reste à expliquer le choix de cette projection pour Google Maps. L'un des intérêts majeurs de l'application est qu'il suffit de zoomer sur une ville ou un quartier pour en obtenir un plan qui permette de s'y orienter. Ceci n'est possible que parce que la projection utilisée est conforme (autrement, les rues seraient déformées) et qu'elle place toujours le nord en haut de l'écran. Comme noté plus haut, la projection de Mercator est la seule à posséder ces deux propriétés, ce qui explique qu'elle se soit imposée, au prix d'une image déformée du globe1.

Le commentaire suivant a d’ailleurs été publié à ce sujet par Joel Headley, manager de l’équipe support clientèle de Google Maps, le 8 avril 2009 : « […] Maps uses Mercator because it preserves angles. The first launch of Maps actually did not use Mercator, and streets in high latitude places like Stockholm did not meet at right angles on the map the way they do in reality. While this distorts a 'zoomed-out view' of the map, it allows close-ups (street level) to appear more like reality. The majority of our users are looking down at the street level for businesses, directions, etc... so we're sticking with this projection for now. […] »2.

Notes


  1. En fait, il serait possible d'utiliser une projection plus fidèle à l'échelle du globe, et de changer de projection progressivement au fur et à mesure que l'utilisateur agrandirait la carte. Mais l'image tournerait et se déformerait à chaque changement d'échelle. 

  2. http://productforums.google.com/forum/#!topic/maps/A2ygEJ5eG-o/discussion